【答案】
分析:(1)由f(x)=ax
3+bx
2-a
2x(a>0),知f'(x)=3ax
2+2bx-a
2(a>0)依题意有
,由此能求出f(x).
(2)先对函数进行求导,根据函数f(x)=ax
3+bx
2-a
2x(a>0)的两个极值点为m,n(m≠n),可以得到△>0且由韦达定理可得m+n,mn,把等式转化为关于m+n,mn的关系式,求出a、b的关系,把a看成未知数x,求三次函数的最值,利用导数求极值,是b
2最大值,开方可求b的最大值.
解答:解:(1)∵f(x)=ax
3+bx
2-a
2x(a>0),
∴f'(x)=3ax
2+2bx-a
2(a>0)
依题意有
,
∴
.
解得
,
∴f(x)=6x
3-9x
2-36x.
(2)∵f'(x)=3ax
2+2bx-a
2(a>0),
依题意,m,n是方程f'(x)=0的两个根,
且|m|+|n|=2
,
∴(m+n)
2-2mn+2|mn|=8.
∴
,
∴b
2=3a
2(6-a)
∵b
2≥0,
∴0<a≤6,
设p(a)=3a
2(6-a),
则p′(a)=-9a
2+36a.
由p'(a)>0得0<a<4,
由p'(a)<0得a>4.
即:函数p(a)在区间(0,4]上是增函数,
在区间[4,6]上是减函数,
∴当a=4时,p(a)有极大值为96,
∴p(a)在(0,6]上的最大值是96,
∴b的最大值为
.
点评:本题考查函数解析式的求法和实数b的最大值的求法.由原函数极值点的个数判断出导函数解的个数,利用判别式得参数的关系,用韦达定理把参数和解联系起来,韦达定理是个很好的“桥梁”,求最大值要先求极大值,三次函数一般用导数来求.