Question

1．已知函数f（x）=x²-ax-a．
（1）若存在实数x，使得f（x）＜0，求实数a的取值范围；
（2）设g（x）=log_|a||f（x）|在区间[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意便知，不等式x²-ax-a＜0有解，从而有△＞0，从而得到a＜-4，或a＞0；
（2）根据函数f（x）的判别式△的取值，从而来找出g（x）的单调递增区间：①△＜0时，-4＜a＜0，分-4＜a＜-1和-1＜a＜0，根据二次函数f（x）和对数函数y=log_|a|x的单调性即可得出g（x）的单调递增区间，根据g（x）在[0，1]上单调递增即可得出a的范围，②△＞0时，a＜-4，或a＞0，可设f（x）=0的两实根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，根据复合函数的单调性可以找出g（x）的单调递增区间，从而该单调递增区间包含区间[0，1]，这样即可得出a的范围，③△=0时，a=-4，方法同前面，可找出g（x）的单调增区间，这样便可得出a=-4符合题意，最后把求得的a的范围求并集即可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）根据题意知，x²-ax-a＜0有解；
∴△=a²+4a＞0；
∴a＜-4，或a＞0；
∴实数a的取值范围为（-∞，-4）∪（0，+∞）；
（2）由上面知，-4＜a＜0时，f（x）＞0；
∴①-4＜a＜-1时，1＜|a|＜4，则：
g（x）在$[\frac{a}{2}，+∞）$上单调递增；
则$\frac{a}{2}≤0$；
∴-4＜a＜-1；
②-1＜a＜0时，0＜|a|＜1，则：
g（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$]上单调递增；
$\frac{a}{2}＜0$，∴不满足g（x）在[0，1]上单调递增，即这种情况不存在；
③a＜-4，或a＞0时，设f（x）=0的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，则：
1）a＜-4，或a＞1时，|a|＞1，则g（x）在[${x}_{1}，\frac{a}{2}$]，[x₂，+∞）上单调递增；
若[0，1]$⊆[{x}_{1}，\frac{a}{2}]$，则$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=-a＜0}\\{\frac{a}{2}≥1}\end{array}\right.$，∴a≥2；
若[0，1]⊆[x₂，+∞），则$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=-a＞0}\\{\frac{a}{2}＜0}\end{array}\right.$，∴a＜-4；
2）0＜a＜1时，则g（x）在（-∞，x₁]，$[\frac{a}{2}，{x}_{2}]$上单调递增；
若[0，1]⊆（-∞，x₁]，则$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1-2a＞0}\\{\frac{a}{2}≥1}\end{array}\right.$，∴a∈∅；
若[0，1]⊆$[\frac{a}{2}，{x}_{2}]$，则$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1-2a＜0}\\{\frac{a}{2}＜0}\end{array}\right.$，∴a∈∅；
④a=-4时，f（x）=0有两相等的实根；
|a|＞1；
∴g（x）在$（\frac{a}{2}，+∞）$上单调递增；
∴$\frac{a}{2}＜0$；
∴a=-4；
∴综上得实数a的取值范围为（-∞，-1）∪[2，+∞）．

点评 考查一元二次不等式ax²+bx+c＜0（a＞0）有解时，判别式△的取值情况，二次函数、对数函数，以及复合函数的单调性，清楚|f（x）|的单调区间和函数f（x）单调区间的关系．