Question

椭圆x²+4y²=4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是

 

．

Answer 1

分析：根据A是直角顶点推断直角边斜率是1和-1．设A是（-2，0）则可得一直角边方程与椭圆方程联立消去y求得交点的横坐标，进而根据直线方程求得横坐标，进而可求得一直角边的长，最后根据面积公式可得三角形的面积．

解答：解：A是直角顶点
所以直角边斜率是1和-1
设A是（-2，0）
所以一条是y=x+2
代入椭圆
5x²+16x+12=0
（5x+6）（x+2）=0
x=-

6

5

，x=-2（排除）
x=-

6

5

，y=x+2=

4

5

所以和椭圆交点是C（-

6

5

，

4

5

）
则AC²=（-2+

6

5

）²+（0-

4

5

）²=

32

25

所以面积=

1

2

AC²=

16

25

故答案为

16

25

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．本题是研究椭圆和解三角形问题的综合题．对学生对问题的综合分析的能力要求很高．