Question

过椭圆x²+4y²=4的右焦点F作直线l交椭圆于M、N两点，设|

MN

|=

3

2

；
（1）求直线l的斜率；
（2）设M、N在椭圆右准线上的射影分别是M₁、N₁，求

MN

•

M1N1

的值．

Answer 1

分析：（1）设直线l的倾斜角为θ，k=tanθ，F(

3

，0)，由

x2+4y2=4 y=k(x- 3 )

，得(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0，由韦达定理和|

MN

|=

3

2

=

1+k2

|x1-x2|能求出直线l的斜率．
（2）

MN

•

M1N1

=|

MN

|•|

M1N1

|cos(90°-θ)=|

MN

|2sin2θ，由k2=tan2θ= 

5

4

，知sin2θ=

5

9

，|

MN

|2=

9

4

，由此能求出

MN

•

M1N1

的值．

解答：解：（1）设直线l的倾斜角为θ，显见θ≠90°，
k=tanθ，F(

3

，0)，
由

x2+4y2=4 y=k(x- 3 )

，得(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0，（2分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=

8 3 k2

1+4k2

，x1x2=

12k2-4

1+4k2

，
∵|

MN

|=

3

2

=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

( 8 3  k2 1+4k2 )2-4× 12k2-4 1+4k2

，
整理，得

4k2+4

1+4k2

=

3

2

，
解得k2=

5

4

，∴k=±

5

2

．（6分）
（2）

MN

•

M1N1

=|

MN

|•|

M1N1

|cos(90°-θ)
=|

MN

|•|

MN

|cos2(90°-θ)
=|

MN

|2sin2θ，（9分）
k2=tan2θ= 

5

4

，
∴sin2θ=

5

9

，|

MN

|2=

9

4

，
∴

MN

•

M1N1

=

9

4

•

5

9

=

5

4

．（12分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．