已知实数,函数.
(1)当时,求的最小值;
(2)当时,判断的单调性,并说明理由;
(3)求实数的范围,使得对于区间上的任意三个实数,都存在以为边长的三角形.
(1)2;(2)递增;(3).
【解析】
试题分析:(1)研究函数问题,一般先研究函数的性质,如奇偶性,单调性,周期性等等,如本题中函数是偶函数,因此其最小值我们只要在时求得即可;(2)时,可化简为,下面我们只要按照单调性的定义就可证明在上函数是单调递增的,当然在上是递减的;(3)处理此问题,首先通过换元法把问题简化,设,则函数变为,问题变为求实数的范围,使得在区间上,恒有.对于函数,我们知道,它在上递减,在上递增,故我们要讨论它在区间上的最大(小)值,就必须分类讨论,分类标准显然是,,,在时还要讨论最大值在区间的哪个端点取得,也即共分成四类.
试题解析:易知的定义域为,且为偶函数.
(1)时, 2分
时最小值为2. 4分
(2)时,
时,递增;时,递减; 6分
为偶函数.所以只对时,说明递增.
设,所以,得
所以时,递增; 10分
(3),,
从而原问题等价于求实数的范围,使得在区间上,
恒有. 11分
①当时,在上单调递增,
由得,
从而; 12分
②当时,在上单调递减,在上单调递增,
,
由得,从而; 13分
③当时,在上单调递减,在上单调递增,
,
由得,从而; 14分
④当时,在上单调递减,
由得,从而; 15分
综上,. 16分
考点:(1)函数的最值;(2)函数的单调性的证明;(3)分类讨论与函数的最值.
科目:高中数学 来源:2015届福建省、二中高一上学期期末联考数学卷(解析版) 题型:解答题
已知实数,函数.
(I)讨论在上的奇偶性;
(II)求函数的单调区间;
(III)求函数在闭区间上的最大值。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2014届广东省东莞市高二下学期期中考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知实数,函数.
(Ⅰ)若函数有极大值32,求实数的值;
(Ⅱ)若对,不等式恒成立,求实数的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com