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已知实数,函数.

(I)讨论上的奇偶性;

(II)求函数的单调区间;

(III)求函数在闭区间上的最大值。

 

【答案】

(I)当时, 为奇函数;当时,为非奇非偶函数;

(II)函数的增区间,函数的减区间

(III)当时, 的最大值是

时,的最大值是

【解析】

试题分析:(I)当时, ,因为,故为奇函数;

时,为非奇非偶函数      2分

(II)当时,故函数的增区间       3分

时,

故函数的增区间,函数的减区间     5分

(III)①当时,

时,的最大值是

时,的最大值是      7分

② 当时,

所以,当时,的最大值是     9分

综上,当时, 的最大值是

时,的最大值是       10分

考点:本题主要考查分段函数的奇偶性、单调性和最值问题的综合运用能力,考查数形结合、分类与整合思想。

点评:中档题,分段函数是高考考查的重点函数类型之一,在不同范围内,函数表达式不同,能有效地扩大考查知识的覆盖面。二次函数的图象和性质也是高考考查的重点。更是阶段考试的主要题型。

 

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