Question

已知适合不等式|x²-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3，求p的值．

Answer 1

分析：原不等式等价于|x²-4x+p|-x+3≤5，则

x2-5x+p-2≤0 x2-3x+p+2≥0

解的最大值为3，设 x²-5x+p-2=0 的根分别为x₁和x₂，x₁＜x₂，x²-3x+p+2=0的根分别为x₃和 x₄，x₃＜x₄．
则分x₂=3 和 x₄=3 两种情况，分别求得 p的值．

解答：解：因为x的最大值为3，故x-3＜0，
原不等式等价于|x²-4x+p|-x+3≤5，（3分）
即-x-2≤x²-4x+p≤x+2，则

x2-5x+p-2≤0 x2-3x+p+2≥0

 解的最大值为3，（6分）
设 x²-5x+p-2=0 的根分别为x₁和x₂，x₁＜x₂，x²-3x+p+2=0的根分别为x₃和 x₄，x₃＜x₄．
则x₂=3，或 x₄=3．
若x₂=3，则9-15+p-2=0，p=8，若x₄=3，则9-9+p+2=0，p=-2．
当p=-2时，原不等式无解，检验得：p=8 符合题意，故 p=8．（12分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．