Question

对于函数f（x）=x³+ax²-x+1的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值；乙：该函数的极大值必大于1；丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程f（x）=0一定有三个不等的实数根． 这四种说法中，正确的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：f′（x）=3x²+2ax-1，显然，判别式（2a）²-4×3×（-1）=4a²+12＞0，故f′（x）有两个不相等的零点x₁，x₂，且一正一负，不妨设0＜x₁＜x₂．f（x）=x³+ax²-x+1图象必过点（0，1），函数f（x）=x³+ax²-x+1在（-∞，x₁）上递增，（x₁，x₂）上递减，（x₂，+∞）上递增，可画出函数的图象，可得答案．

解答：解：f（x）=x³+ax²-x+1，则f′（x）=3x²+2ax-1，显然，判别式（2a）²-4×3×（-1）=4a²+12＞0，
故f′（x）有两个不相等的零点x₁，x₂，且一正一负，不妨设x₁＜0＜x₂．又f（x）=x³+ax²-x+1图象必过点（0，1）
二次函数f′（x）=3x²+2ax-1，开口向上，且在（-∞，x₁）上为正，（x₁，x₂）上为负，（x₂，+∞）上为正，
即函数f（x）=x³+ax²-x+1在（-∞，x₁）上递增，（x₁，x₂）上递减，（x₂，+∞）上递增．
由极值的定义可知：函数f（x）必有两个极值点，且x=x₁处是极大值点，x=x₂处是极小值点．
由以上性质作函数f（x）=x³+ax²-x+1的图象
或
由图1，图2可知：甲正确；乙正确；丙正确；丁不正确．
故选C．

点评：本题为函数极值的问题，利用导数研究函数的性质，进而得出函数的图象是解决问题的关键，属基础题．