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对于函数f(x)=x3+ax2-x+1的极值情况,4位同学有下列说法:甲:该函数必有2个极值;乙:该函数的极大值必大于1;丙:该函数的极小值必小于1;丁:方程f(x)=0一定有三个不等的实数根. 这四种说法中,正确的个数是(  )
分析:f′(x)=3x2+2ax-1,显然,判别式(2a)2-4×3×(-1)=4a2+12>0,故f′(x)有两个不相等的零点x1,x2,且一正一负,不妨设0<x1<x2.f(x)=x3+ax2-x+1图象必过点(0,1),函数f(x)=x3+ax2-x+1在(-∞,x1)上递增,(x1,x2)上递减,(x2,+∞)上递增,可画出函数的图象,可得答案.
解答:解:f(x)=x3+ax2-x+1,则f′(x)=3x2+2ax-1,显然,判别式(2a)2-4×3×(-1)=4a2+12>0,
故f′(x)有两个不相等的零点x1,x2,且一正一负,不妨设x1<0<x2.又f(x)=x3+ax2-x+1图象必过点(0,1)
二次函数f′(x)=3x2+2ax-1,开口向上,且在(-∞,x1)上为正,(x1,x2)上为负,(x2,+∞)上为正,
即函数f(x)=x3+ax2-x+1在(-∞,x1)上递增,(x1,x2)上递减,(x2,+∞)上递增.
由极值的定义可知:函数f(x)必有两个极值点,且x=x1处是极大值点,x=x2处是极小值点.
由以上性质作函数f(x)=x3+ax2-x+1的图象

由图1,图2可知:甲正确;乙正确;丙正确;丁不正确.
故选C.
点评:本题为函数极值的问题,利用导数研究函数的性质,进而得出函数的图象是解决问题的关键,属基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)的定义域为R,且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x)
(1)若f(5)=9,求:f(-5);
(2)已知x∈[2,7]时,f(x)=(x-2)2,求当x∈[16,20]时,函数g(x)=2x-f(x)的表达式,并求出g(x)的最大值和最小值;
(3)若f(x)=0的一根是0,记f(x)=0在区间[-1000,1000]上的根数为N,求N的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)的定义域为A,若存在非零实数t,使得对于任意x∈C(C⊆A),有x+t∈A,且f(x+t)≤f(x),则称f(x)为C上的t低调函数.如果定义域为[0,+∞)的函数f(x)=-|x-m2|+m2,且 f(x)为[0,+∞)上的10低调函数,那么实数m的取值范围是(  )
A、[-5,5]
B、[-
5
5
]
C、[-
10
10
]
D、[-
5
2
5
2
]

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1≠x2)有如下结论
①f(x1+x2)=f(x1)•f(x2);
②f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0

f(
x1+x2
2
)<
f(x1)+f(x2)
2

f(x)=(
1
2
)x
时,上述结论中正确的序号是(  )
A、①②B、①④C、②③D、③④

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科目:高中数学 来源:徐州模拟 题型:解答题

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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