Question

10．多面体ABCDEF中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AF=2，AB=AD=$\sqrt{3}$，BC=DC=1，∠BAD=60°，且B、C、E、F四点共面．
（1）求线段DE的长度；
（2）求二面角B-EF-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BD，推导出DA⊥DC，从而DA、DC、DE是两两垂直，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出DE的长．
（2）求出平面BEF的法向量和平面DEF的一个法向量，利用向量法能求出二面角B-EF-D的余弦值．

解答 解：（1）连接AC、BD，△ABD中，AB=AD=$\sqrt{3}$，∠BAD=60o，
∴BD=$\sqrt{3}$，∠ADB=60o，△BCD中，BC=DC=1，∴∠BDC=30o，
∴∠ADC=90o，即DA⊥DC，
∵DE⊥平面ABCD，∴DA、DC、DE是两两垂直，
以点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系D-xyz，
则点A（$\sqrt{3}$，0，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），C（0，1，0），D（0，0，0），F（$\sqrt{3}$，0，2），设E（0，0，h），
∴$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，0$），$\overrightarrow{CF}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），$\overrightarrow{CE}$=（0，-1，h），
∵B、C、E、F四点共面，∴λ，μ∈R，使得$\overrightarrow{CE}$=$λ\overrightarrow{CB}+μ\overrightarrow{CF}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{3}λ+\sqrt{3}μ=0}\\{\frac{1}{2}λ-μ=-1}\\{2μ=h}\end{array}\right.$，解得$λ=-1，μ=\frac{1}{2}，h=1$，∴E（0，0，1），
即DE=1．
 （2）∵$\overrightarrow{EB}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，-1），$\overrightarrow{EF}$=（$\sqrt{3}，0，1$），设平面BEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=\sqrt{3}x+z=0}\end{array}\right.$，得平面BEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
∴取平面DEF的一个法向量$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
设二面角B-EF-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴二面角B-EF-D的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，如何体现四点共面及二面角的计算，常见的问题有证明类--平行与垂直的证明；计算类--角度（线线角，线面角，二面角）；长度（线度、点面、线面、面面距离）．