Question

2．如图所示，⊙O是四边形ABCD的外接圆，BC与过点D的切线l交于点E，CD是∠BDE的角平分线，AD⊥CD．
（1）证明：∠ADB=∠ABD；
（2）设⊙O的半径r=2，BD=2$\sqrt{3}$，求△BDE的外接圆的面积．

Answer 1

分析 （1）通过证明：△ADC≌△ABC，即可证明∠ADB=∠ABD；
（2）设⊙O的半径r=2，BD=2$\sqrt{3}$，求出∠BCD=60°，利用正弦定理求出半径，即可求△BDE的外接圆的面积．

解答 （1）证明：∵CD是∠BDE的角平分线，
∴∠EDC=∠BDC，
∵∠DAC=∠EDC，∠BAC=∠BDC，
∴∠DAC=∠BAC，
∵AD⊥CD，∴AB⊥CB，
∴△ADC≌△ABC，
∴AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD；
（2）解：设AC与BD相交于F，则3=AF•（4-AF），
∴AF=1，
∴tan∠DAF=$\sqrt{3}$，
∴∠DAF=60°，
∴∠DAB=120°，
∴∠BCD=60°
设△BDE的外接圆的半径为R，则2R=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴R=2，
∴△BDE的外接圆的面积S=4π•2²=16π．

点评 本题考查三角形全等的证明与性质的运用，考查射影定理，考查正弦定理，属于中档题．