Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=4，BC=CC₁=

2

，P是BC₁上一动点，则CP+PA₁的最小值是

 

．

Answer 1

分析：连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，不难看出CP+PA₁的最小值是A₁C的连线．（在BC₁上取一点与A₁C构成三角形，因为三角形两边和大于第三边）由余弦定理即可求解．

解答：解：连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，
连接A₁C，长度即是所求．
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=4，BC=CC₁=

2

，
∴矩形BCC₁B₁是边长为

2

的正方形；则BC₁=2；
另外A₁C₁=AC=4；
在矩形ABB₁A₁中，A₁B₁=AB=3

2

，BB₁=

2

，则A₁B=2

5

；
易发现4²+2²=20，即A₁C₁²+BC₁²=A₁B²，
∴∠A₁C₁B=90°，则∠A₁C₁C=135°
故A₁C=

A1C 2 1 +C1C2-2A1C1•C1C•cos135°

=

16+2+2×4• 2 • 2 2

=

26

故答案为：

26

点评：本题考查的知识中是棱柱的结构特征及两点之间的距离，其中利用旋转的思想，将△CBC₁沿BC₁展开，将一个空间问题转化为平面内求两点之间距离问题是解答本题的关键．