Question

（2013•哈尔滨一模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一段图象如下所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调减区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合．

Answer 1

分析：（1）由图象直接得到振幅A，和四分之三周期，所以周期可求，则ω可求，然后根据五点作图的第一点求得Φ，则函数解析式可求；
（2）直接由三角函数符号后面的相位在正弦函数的减区间内求得函数的减区间，由终边在y轴正半轴上的角的正弦值最大求出使函数取得最大值时的角x的集合．

解答：解：（1）由图象可以得到函数f（x）的振幅A=3，
设函数周期为T，则

3

4

T=4π-

π

4

=

15π

4

，
所以T=5π，则ω=

2π

T

=

2π

5π

=

2

5

，
由ωx₀+Φ=0，得

2

5

×

π

4

+Φ=0，所以Φ=-

π

10

，
所以f（x）=3sin(

2

5

x-

π

10

)．
（2）由

π

2

+2kπ≤

2

5

x-

π

10

≤

3

2

π+2kπ  (k∈Z)，
得

3

2

π+5kπ≤x≤4π+5kπ   (k∈Z)，
所以函数的减区间为（

3

2

π+5kπ，4π+5kπ）k∈Z．
函数f（x）的最大值为3，当且仅当

2

5

x-

π

10

=

π

2

+2kπ  (k∈Z)，
即x=

3

2

π+5kπ  (k∈Z)时函数取得最大值．
所以函数的最大值为3，取得最大值时的x的集合为{x|x=

3

2

π+5kπ   k∈Z}．

点评：本题考查了根据函数的部分图象求函数解析式问题，考查了复合函数的增减性，解答此题的关键是求初相，运用的是五点作图的第一点，具体办法是看图象在y轴右侧与x轴的第一个交点是上升趋势还是下降趋势，若是上升趋势有ωx₀+Φ=0，若是下降趋势则有ωx₀+Φ=π．