Question

求曲线y=

1

x2

在横坐标为x₀的点处的切线方程，并求此曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度．

Answer 1

分析：先根据导数的几何意义求出曲线在点x₀处的切线方程，从而求出切线被两坐标轴所截线段，再用基本不等式求其最小值．

解答：解：由导数的定义可得y′=-

2

x3

，
则过（x0，

1

x 2 0

）点的切线方程为y-

1

x 2 0

=-

2

x 3 0

(x-x0)，
由此得切线在x轴与y轴上的交点分别为A（

3

2

x₀，0），B（0，

3

x 2 0

）．
则|AB|²=

9

4

x

2 0

+

9

x 4 0

=

9

8

x

2 0

+

9

8

x

2 0

+

9

x 4 0

≥3•

3	9 8 x 2 0 • 9 8 x 2 0 • 9 x 4 0

=

27

4

，
∴|AB|≥

3 3

2

，当且仅当

9

8

x

2 0

=

9

x 4 0

，即x₀=±

2

时，等号成立．
故最短长度为

3 3

2

．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．