Question

16．点P在直径为2的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{70}}{5}$
• B． $\frac{3\sqrt{70}}{5}$
• C． $\frac{4\sqrt{15}}{5}$
• D． $\frac{6\sqrt{15}}{5}$

Answer 1

分析 设三条弦长分别是a，2a，h，则a²+（2a）²+h²=25，三条弦长之和S=3a+h，进而利用椭圆的参数方程，结合辅助角公式得三条弦长之和的最大值．

解答 解：设三条弦长分别是a，2a，h，则a²+（2a）²+h²=4，即5a²+h²=4，
设a=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosα，h=2sinα．三条弦长之和S=3a+h=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$cosα+2sinα=$\frac{2\sqrt{70}}{5}$sin（α+θ），
∴这三条弦长之和的最大值是$\frac{2\sqrt{70}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查圆的内接多面体，考查学生的计算能力，正确转化是关键．