Question

已知实数x,y满足 . 
（1）求的最小值和最大值； （2）求的取值范围；     
（3）求的最小值；       （4）求最小值.

Answer 1

（1）目标函数的最小值和最大值分别为3和12（2）（3）2（4）3

试题分析：∵实数x,y满足，
∴作出可行域如图所示，并求顶点坐标，   

（1）如图，作直线且平移该直线，
由图可知当该直线经过点B时，即时，；
当该直线经过点C时，即时， ，
∴目标函数的最小值和最大值分别为3和12                             ……3分
（2）∵表示可行域内任一点与定点连线的斜率， 
∴由图知，                   
又，
∴，                 
∴的取值范围是                                              ……6分
（3）∵表示可行域内任一点到原点的距离的平方，
∴从图中易知可行域中的点B到原点的距离最小，   
∴，  
∴                                                           ……9分
（4）∵
∴表示可行域内任一点到直线的距离
在图中作出直线，由图易知可行域中的点B到该直线的距离最小
∴点B到该直线的距离
∴
∴                                                                   ……12分
点评：解决线性规划问题，关键是正确画出可行域，如果目标函数不是线性的，则需要进行适当转化，比如转化为距离、斜率等.