Question

对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b）使当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的“正函数”，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．
（1）已知函数f（x）=x³是正函数，试求f（x）的所有等域区间；
（2）若g(x)=

x+2

+k是正函数，试求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数a，b（a＜b＜1）使得函数f(x)=|1-

1

x

|是[a，b]上的“正函数”？若存在，求出区间[a，b]，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据导数符号可知f（x）=x³在R上是增函数，则x∈[a，b]时，f（x）的值域为[a³，b³]，最后根据f（x）=x³是正函数建立等式关系，解之即可求出所求；
（2）g(x)=

x+2

+k在[-2，+∞）上是增函数，则x∈[a，b]时，f（x）的值域为[g（a），g（b）]，根据g(x)=

x+2

+k是正函数，建立等式关系，即k=(

x+2

)2-

x+2

-2有两个不等的实根，数形结合即可求出k的范围；
（3）假设存在区间[a，b]，使得x∈[a，b]时，H(x)=|1-

1

x

|的值域为[a，b]，讨论当a＜b＜0时与当0＜a＜b＜1时是否存在实数a、b即可．

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²≥0
∴f（x）=x³在R上是增函数
则x∈[a，b]时，f（x）的值域为[a³，b³]
又f（x）=x³是正函数
∴

a=a3 b=b3 b＞a

解得

a=0 b=1

或

a=-1 b=0

或

a=-1 b=1

故f（x）的等域区间有三个：[0，1]，[-1，0]，[-1，1]…（5分）
（2）∵g(x)=

x+2

+k在[-2，+∞）上是增函数
∴x∈[a，b]时，f（x）的值域为[g（a），g（b）]
若g(x)=

x+2

+k是正函数，则有

g(a)=b g(b)=b

即

a= a+2 +k b= b+2 +k

故方程x=

x+2

+k有两个不等的实根．…（7分）
即k=(

x+2

)2-

x+2

-2有两个不等的实根
令

x+2

=t≥0，h(t)=t2-t-2=(t-

1

2

)2-

9

4

(t≥0)
数形结合知：k∈(-

9

4

，-2]…（9分）
（3）假设存在区间[a，b]，使得x∈[a，b]时，H(x)=|1-

1

x

|的值域为[a，b]，又0∉[a，b]故ab＞0
当a＜b＜0时，H(x)=1-

1

x

在[a，b]上单增．
∴

a=1- 1 a b=1- 1 b

⇒a，b是方程x=1-

1

x

的两负根
又方程x²-x+1=0无解
故此时不存在…（11分）
当0＜a＜b＜1时，H(x)=

1

x

-1在[a，b]上单减
∴

a= 1 b -1 b= 1 a -1

⇒

ab=1-b ab=1-a

⇒a=b，又a＜b
故此时不存在…（13分）
综上可知：不存在实数a＜b＜1使得f（x）的定义域和值域均为[a，b]…（14分）

点评：本题主要考查了函数值域的求解，以及利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．