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    对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使当x∈[a，b]时，
    f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．
    （1）已知函数f(x)=
    		x
    是[0，+∞）上的正函数，试求f（x）的等域区间．
    （2）试探究是否存在实数k，使函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函数？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）因为f(x)=
    		x
    在[0，+∞）上是增函数，所以当x∈[a，b]，f（x）的值域是[f（a），f（b）]，由此能求出f（x）的等域区间．
    （2）设存在实数k，使函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上为减函数．当x∈[a，b]时，g（x）的值域是[g（a），g（b）]，若函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函数，则
    g(a)=b
    g(b)=a
    ．由此能够导出存在实数k∈(-1，-
    3
    4
    )    ，使函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函数．
    解答：解：（1）因为f(x)=
    		x
    在[0，+∞）上是增函数
    所以当x∈[a，b]，f（x）的值域是[f（a），f（b）]，
    又f(x)=
    		x
    是[0，+∞）上的正函数
    ∴
    f(a)=a
    f(b)=b
    b＞a≥0
    ⇒
    		a
    =a
    		b
    =b
    b＞a≥0
    ，
    ∴a=0，b=1，
    ∴f（x）的等域区间为[0，1]．…（4分）
    （2）设存在实数k，使函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上为减函数．
    ∴当x∈[a，b]时，g（x）的值域是[g（a），g（b）]，
    若函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函数，
    则
    g(a)=b
    g(b)=a
    ，
    即
    a2+k=b
    b2+k=a
    ⇒a2-b2=b-a    ，
    ∵a≠b，∴a+b=-1即b=-a-1，
    ∵a＜b＜0即a＜-a-1＜0⇒-1＜a＜-
    1
    2
    …（8分）
    ∴关于a的方程a2+a+k+1=0在区间(-1，-
    1
    2
    )    内有实根，
    由a2+a+k+1=0得k+1=-a2-a…（10分），
    ∵函数y=-a2-a在(-1，-
    1
    2
    )    上为增函数，
    ∴当a∈(-1，-
    1
    2
    )    时，y=-a2-a∈(0，
    1
    4
    )    …（12分）
    ∴k+1∈(0，
    1
    4
    )    即k∈(-1，-
    3
    4
    )
    故存在实数k∈(-1，-
    3
    4
    )    使函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函数…（14分）
    点评：本题考查函数恒成立的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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    		x
    是[0，+∞）上的正函数，则f（x）的等域区间为
    [0，1]
    [0，1]
    ．

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    对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b）使当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的“正函数”，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．
    （1）已知函数f（x）=x3是正函数，试求f（x）的所有等域区间；
    （2）若g(x)=
    		x+2
    +k    是正函数，试求实数k的取值范围；
    （3）是否存在实数a，b（a＜b＜1）使得函数f(x)=|1-
    1
    x
    |    是[a，b]上的“正函数”？若存在，求出区间[a，b]，若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年福建省三明九中高三（上）第一次段考数学试卷（文科）（解析版） 题型：填空题

    对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性，且存在区间[a，b]⊆D，使当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．已知函数f（x）=是[0，+∞）上的正函数，则f（x）的等域区间为    ．

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    科目：高中数学 来源：2013年高考数学复习卷D（二）（解析版） 题型：解答题

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    f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．
    （1）已知函数是[0，+∞）上的正函数，试求f（x）的等域区间．
    （2）试探究是否存在实数k，使函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函数？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

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