Question

（08年长沙市模拟文）（13分） 已知函数f(x)=ax³+bx²-3x在处取得极值。

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）求证：对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x₁,x₂，都有；

（3）若过点A(1,m)(m?-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。

Answer 1

解析：（1），依题意，，

即，解得  3分

（2）

当-1<x<1时，，故f(x)在区间[-1,1]上为减函数，

∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x₁,x₂，

都有

  7分

（3），

 ∵曲线方程为y=x3-3x，∴点A(1,m)不在曲线上，

设切点为M(x₀,y₀)，则点M的坐标满足。

因，故切线的斜率为，

整理得。

∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线，

∴关于x₀方程有三个实根。  9分

设，则，

由，得x₀=0或x₀=1。

在上单调递增，在（0,1）上单调递减。

∴函数的极值点为x₀=0，x₀=1

∴关于x₀方程有三个实根的充要条件是

，解得-3<m<-2。

故所求的实数a的取值范围是-3<m<-2。……13分