Question

【题目】如下图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是 ， 若D1E⊥EC，则直线A1D与平面D1DE所成的角为

Answer 1

【答案】90°；30°
【解析】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），
设E（1，t，0），0≤t≤2，
则 =（1，t，﹣1）， =（﹣1，0，﹣1），
∴ =﹣1+0+1=0，
∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．
∵ =（1，t，﹣1）， =（﹣1，2﹣t，0），D1E⊥EC，
∴ =﹣1+t（2﹣t）+0=0，
解得t=1，∴AE=1．
平面D1DE的法向量为 =（﹣1，1，0），cos＜ ， ＞= =﹣ ，
∴直线A1D与平面D1DE所成的角为30°．
所以答案是90°，30°．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．