Question

如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P。

（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（2）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围。

Answer 1

解：（1）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D（0，2），P（），依题意得 |MA|-|MB|=|PA|-|PB|= ＜|AB|=4 ∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线 设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c， 则c=2，2a=2， ∴a2=2，b2=c2-a2=2 ∴曲线C的方程为。
（2）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理得 （1-k2）x2-4kx-6=0 ① ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， ∴ ∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）② 设E（x1，y1），F（x2，y2）， 则由①式得x1+x2=， 于是|EF|= = 而原点O到直线l的距离d=， ∴S△DEF= 若△OEF面积不小于2，即S△OEF≥，则有 解得 ③ 综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）。