Question

若直线y=kx是曲线y=x³-3x²+2x上的一点处的切线，则实数k=

2或-

1

4

．

Answer 1

分析：因为切线斜率是切点处的导数，求出切点处的导数，就可得到曲线在切点处的斜率，用点斜式表示切线方程，因为切线过点（0，0），代入就可求出切点的横坐标，进而求出切线斜率k的值．

解答：解：曲线y=x³-3x²+2x的导数为y′=3x²-6x+2
设切点坐标为（x₀，y₀）
∴切线的斜率k=3x₀²-6x₀+2
∴切线方程为y-y₀=（3x₀²-6x₀+2）（x-x₀）
∵y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
∴切线方程为y=（3x₀²-6x₀+2）x-（3x₀²-6x₀+2）x₀+（x₀³-3x₀²+2x₀）
又∵切线过点（0，0），
∴-（3x₀²-6x₀+2）x₀+（x₀³-3x₀²+2x₀）=0
解得，x₀=0或

3

2

∴k=2或-

1

4

故答案为2或-

1

4

点评：本题主要考查了导数的几何意义，求过某点的曲线的切线方程的方法，属于导数的应用．