Question

椭圆上到两个焦点距离之积最小的点的坐标是________．

Answer 1

（±5，0）
分析：设焦点坐标为F₁，F₂，依题意可知|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，从而得出|PF₁|•|PF₂|，根据x的取值范围可求得|PF₁|•|PF₂的最小值，当且仅当x=a时等号成立，根据椭圆对称性可知当点动P在椭圆的长轴顶点时，等号成立．点P的坐标可得．
解答：设焦点坐标为F₁，F₂，椭圆上一点P（x，y），
依题意可知|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，
从而得出|PF₁|•|PF₂|=（a+ex）（a-ex）=a²-e²x²，
根据x的取值范围[-a，a]，
得|PF₁|•|PF₂的最小值a²-e²a²，当且仅当x=±a时等号成立，
根据椭圆对称性可知当点动P在椭圆的长轴顶点时，等号成立
∴此时点P的坐标为（±5，0）．
故答案为：（±5，0）
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆的基本性质．考查了学生对椭圆定义的理解和运用．