Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）证明：无论m取什么实数，L与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时直线L的斜截式方程．

Answer 1

分析：（1）将直线l方程整理后，确定出恒过的定点A坐标，判断A在圆C内部，即可确定出无论m取什么实数，L与圆恒交于两点；
（2）当直线被圆C截得的弦长最小时，直线l与直线AM垂直，根据直线AM的斜率求出l的斜率，再由A的坐标即可确定出直线l方程．

解答：解：（1）将直线l方程整理得：（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
由

x+y-4=0 2x+y-7=0

，解得：

x=3 y=1

，
∴直线l恒过A（3，1），
∵（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
∴点A在圆C内部，
则直线l与圆恒有两个交点；
（2）由圆的方程得到圆心M（1，2），当截得的弦长最小时，直线l⊥AM，
∵k_AM=-

1

2

，∴直线l斜率为2，
则直线l的方程为y-1=2（x-2），即2x-y-5=0．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及恒过定点的直线方程，根据题意得出截得的弦长最小时，直线l⊥AM是解本题第二问的关键．