Question

已知曲线C：x²-y|y|=1．
（1）画出曲线C的图象，
（2）若直线l：y=x+m与曲线C有两个公共点，求m的取值范围；
（3）若过点P（0，2）的直线与曲线C在x轴上方的部分交于不同的两点M，N，求t=

OM

•

OP

+

OM

•

PN

的范围．

Answer 1

分析：（1）去掉绝对值，将曲线化为两段曲线，分别画出这两段曲线即可；
（2）直线y=x+m的斜率为1，先讨论y≤0时有两个公共点时m的取值范围，再讨论y＞0时有一个公共点时m的取值范围，最后将两个范围合并即可；
（3）设出直线方程方程，与曲线方程联立，利用韦达定理及向量知识，利用k的范围，即可确定t的范围．

解答：解：（1）当y＞0时，x²-y²=1（2分）
当y≤0时x²+y²=1（2分）
曲线C的图象，如图所示…（计4分）
（2）若l：y=x+m与x²+y²=1（y≤0）有两个公共
点，则d=

|m|

2

∈[

2

2

，1），解得m∈(-

2

，-1]  …（6分）
若l：y=x+m与x²+y²=1（y≤0）和x²-y²=1
（y＞0）各有一个公共点，
则由图象知，m∈（-1，0）…（8分）
∴m的取值范围是(-

2

，0)                   …（9分）
（3）设过点P（0，2）的直线为y=kx+2
则由图象知，k∈（-1，1），…（10分）
设M，N的坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由

y=kx+2 x2-y2=1

得（1-k²）x²-4kx-5=0，
∴x1+x2=

4k

1-k2

，x1x2=

-5

1-k2

…（12分）
∴t=

OM

•

OP

+

OM

•

PN

=

OM

•(

OP

+

PN

)=

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)•

-5

1-k2

+2k•

4k

1-k2

+4=

3k2-5

1-k2

+4=1+

2

k2-1

∵k∈（-1，1），∴0≤k²＜1，∴-1≤k²-1＜0，∴

1

k2-1

≤-1
∴1+

2

k2-1

≤-1，∴t≤-1…（14分）

点评：本题综合考查了直线与圆，直线与双曲线的关系，解题时要善于使用数形结合的思想方法，善于分类讨论，做到不重不漏，属于中档题．