Question

（2006•浦东新区模拟）已知曲线C：x²-y|y|=1（|x|≤4）．
（1）画出曲线C的图象，
（2）若直线l：y=kx-1与曲线C有两个公共点，求k的取值范围；
（3）若P（0，p）（p＞0），Q为曲线C上的点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）当y＞0时，x²-y²=1；当y≤0时，x²+y²=1．利用等轴双曲线和单位圆即可得出，如图所示．
（2）若l：y=kx-1与x²+y²=1（y≤0）有两个公共点，利用图形即可得出．若l：y=kx-1与x²-y²=1（y＞0）恰有一个公共点时，直线l：y=kx-1与曲线C也有两个公共点，联立方程，令△=0即可得出．
（3）分y＞0与y≤0两种情况，利用两点间的距离公式和二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）当y＞0时，x²-y²=1，
当y≤0时，x²+y²=1．如图所示．
（2）若l：y=kx-1与x²+y²=1（y≤0）有两个公共点，则k∈[-1，0）∪（0，1]．
若l：y=kx-1与x²-y²=1（y＞0）恰有一个公共点时，直线l：y=kx-1与曲线C也有两个公共点，
∴

y=k x-1   y=  x2-1

⇒（1-k²）x²+2kx-2=0，
∴|k|＞1，△=4k²+8（1-k²）=8-4k²=0，
解得 k=± 

2

．                      
∴k的取值范围是{ -

2

}∪[ -1 ， 0 )∪( 0 ， 1 ]∪{ 

2

}．）
（3）当y≤0时，|PQ|²=x²+（y-p）²=1-2py+p²
由-1≤y≤0得，当y=0时| PQ |min=

1+p2

．
当y＞0时，|PQ|²=x²+（y-p）²=2y²-2py+p²+1=2 ( y-

1

2

 p ) 2+

1

2

 p2+1，
当y=

1

2

 p时| PQ |min=

1+ 1  2   p2

．
由于

1+p2

＞

1+ 1  2   p2

∴|PQ|的最小值是

1+ 1  2   p2

．

点评：本题综合考查了等轴双曲线和单位圆的标准方程及其性质、直线与曲线相交于相切的性质、数形结合思想方法、二次函数的单调性、斜率计算公式等基础知识与基本方法、基本技能，考查了推理能力和计算能力、解决问题的能力．