Question

设函数是定义在R上的增函数且f（x）≠0，对于任意x₁，x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：f（x₁-x₂）=

f(x1)

f(x2)

；
（3）若f（1）=2，解不等式f（3x）＞4f（x）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x₁=x₂，便得到f(2x2)=f2(x2)＞0，所以得到f（x）＞0；
（2）根据已知条件得f（x₁-x₂）=f（x₁）f（-x₂），所以需要求f（-x₂），令x₁=x₂，会得到f（0）=f（x₂）f（-x₂），所以要求f（0），令x₁=x₂=0便得到f（0）=1，所以求得f（-x₂）=

1

f(x2)

，这样本问便证出来了；
（3）由f（1）=2，4f（x）=2f（1）f（x）=2f（1+x）=f（1）f（1+x）=f（2+x），所以原不等式变成：f（3x）＞f（2+x），根据f（x）的单调性即可解出该不等式．

解答： 解：（1）证：取x₁=x₂则：f（2x₂）=f²（x₂），∵f（x）≠0，∴f²（x₂）＞0，即f（2x₂）＞0；
∵x₂是任取的，即R上任意的实数，∴任意的x∈R，f（x）＞0；
（2）证：取x₁=x₂=0得：f（0）=f²（0），∵f（0）≠0，∴f（0）=1；
取x₁=-x₂，则f（0）=f（-x₂）f（x₂）=1，∴f(-x2)=

1

f(x2)

；
∴f（x₁-x₂）=f(x1)f(-x2)=

f(x1)

f(x2)

；
（3）∵f（1）=2，∴2f（1）=4；
∴4f（x）=2f（1）f（x）=2f（1+x）=f（1）f（1+x）=f（2+x）；
∴不等式f（3x）＞4f（x）变成：f（3x）＞f（2+x）；
∵f（x）是R上的增函数，∴3x＞2+x，解得x＞1；
∴原不等式的解集为（1，+∞）．

点评：考查应用条件：f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂）的能力，以及根据函数单调性解不等式的方法．