Question

已知数列{}中，（n≥2，），

   （1）若，数列满足（），求证数列{}是等差数列；

   （2）在（1）的情况下，求数列{}中的最大项与最小项，并说明理由；

   （3）若，试证明：．

Answer 1

解：（1），而　，

∴　．

∴　{}是首项为，公差为1的等差数列．

（2）由（1）有，而，∴　.

对于函数，在x＞3.5时，y＞0，，在（3.5，）上为减函数.　

故当n＝4时，取最大值3.

而函数在x＜3.5时，y＜0，，在（，3.5）上也为减函数．故当n＝3时，取最小值，＝－1.

（3）       用数学归纳法证明，再证明

      ① 当时，成立；

②假设当时命题成立，即，

                 当时，

                  故当时也成立， 

综合①②有，命题对任意时成立，即.

                 （也可设（1≤≤2），则，

故）.

                  下证：