Question

已知数列{a_n}中，前n项和为S_n，点（a_n+1，S_n+1）在直线y=4x-2，其中n=1，2，3…，
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1，求证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）令f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导数f′（1）并比较f′（1）与6n²-3n的大小．

Answer 1

分析：（I）由点（a_n+1，S_n+1）在直线y=4x-2上，知S_n+1=4a_n+2．所以a_n+2=4a_n+1-4a_n．再由b_n=a_n+1-2a_n，知b_n+1=2b_n．上此知数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列．
（II）由b_n=3•2^n-1，f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ，知f′（x）=b₁+2b₂x+…+nb_nx^n-1．从而f′（1）=b₁+2b₂+…+nb_n=3（1+2•2+3•2²+…+n•3•2^n-1）．T_n=1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，由错位相减法知T_n=（n-1）•2ⁿ+1．f′（1）=3（n-1）•2ⁿ+3．由f′（1）-（6n²-3n）=3[（n-1）•2ⁿ+1-2n²+n]能推导出f′（1）＞6n²-3n．

解答：解：（I）由已知点（a_n+1，S_n+1）在直线y=4x-2上．
∴S_n+1=4（a_n+1）-2．
即S_n+1=4a_n+2．（n=1，2，3，）
∴S_n+2=4a_n+1+2．
两式相减，得S_n+2-S_n+1=4a_n+1-4a_n．
即a_n+2=4a_n+1-4a_n．（3分）
a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）．
∵b_n=a_n+1-2a_n，（n=1，2，3，）
∴b_n+1=2b_n．
由S₂=a₁+a₂=4a₁+2，a₁=1．
解得a₂=5，b₁=a₂-2a₁=3．
∴数列{b_n}是首项为3，公式为2的等比数列．（6分）
（II）由（I）知b_n=3•2^n-1，
∵f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ，
∴f′（x）=b₁+2b₂x+…+nb_nx^n-1．
从而f′（1）=b₁+2b₂+…+nb_n
=3+2•3•2+3•3•2²+…+n•3•2^n-1
=3（1+2•2+3•2²+…+n•3•2^n-1）（8分）
设T_n=1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，
2T_n=2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ．
两式相减，得-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2n．
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．
∴f′（1）=3（n-1）•2ⁿ+3．（11分）
由于f′（1）-（6n²-3n）=3[（n-1）•2ⁿ+1-2n²+n]
=3（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]．
设g（n）=f′（1）-（6n²-3n）．
当n=1时，g（1）=0，∴f′（1）=6n²-3n；
当n=2时，g（2）=-3＜0，∴f′（1）＜6n²-3n；
当n≥3时，n-1＞0，又2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^n-1+C_nⁿ≥2n+2＞2n+1，
∴（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]＞0，即g（n）＞0，从而f′（1）＞6n²-3n．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意不等式的合理运用．