Question

（（本题14分）如图3，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=。
(Ⅰ)求证：MN//平面PAD；
(Ⅱ)求证：平面PMC⊥平面PCD；
(Ⅲ)若二面角P—MC—A是60°的二面角，求四棱锥P—ABCD的体积。

Answer 1

证明：(Ⅰ)如答图所示，⑴设PD的中点为E，连结AE、NE，

由N为PD的中点知ENDC，
又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB
又M是AB的中点，∴ENAN，                      …3分
∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD
∴MN∥平面PAD                                   …4分
(Ⅱ)∵PA＝AD，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD                                …6分
∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，                          
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，又MN平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD.                                               …8分
　（Ⅲ）解：过A作AH⊥CM，交CM的延长线于H，连PH．
　　∵PA⊥平面ABCD，AH⊥CH，∴PH⊥CH，    ∴∠PHA是二面角P－MC－A的平面角，
∴AH＝                                        …   10分
　　又∵Rt△MHA∽Rt△MBC，
　　
∴    　…12分
∴                               …14分
解法二：(Ⅱ)以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为轴、轴、轴建系
设AB="b  " (b>0)     面PMC法向量 面PDC法向量
∵        ∴面PMC面PDC                         …8分
（Ⅲ）面MCA法向量       ∵二面角P—MC—A是60°的二面角
∴                         ∴       …12分
∴                     …14分

略