Question

设a=

∫

1 0

1-x2

dx，对任意x∈R，不等式a（cos²x-m）+πcosx≥0恒成立，则实数m的取值范围为

（-∞，-3]

．

Answer 1

分析：根据定积分几何意义求出a值，根据任意x∈R，不等式a（cos²x-m）+πcosx≥0恒成立，利用常数分离法进行求解；

解答：解：∵a=

∫

1 0

1-x2

dx，表示y=

1-x2

在[0，1]上的积分，也得圆面积的四分之一，
∴a=

1

4

×π，
∴对任意x∈R，不等式

π

4

（cos²x-m）+πcosx≥0恒成立，
可得m≤cos²x+4cosx在x∈R上恒成立，cosx∈[-1，1]，
求出cos²x+4cosx的最小值即可，cos²x+4cosx=（cosx+2）²-4，
∵函数开口向上，cosx∈[-1，1]，
函数f（cosx）=cos²x+4cosx在[-1，1]上增函数，当cosx=-1时取得最小值，可得（-1）²+4×（-1）=-3，
∴cos²x+4cosx的最小值为-3，
∴m≤-3，
故答案为（-∞，-3]；

点评：此题主要考查函数的最值的应用以及定积分的意义，关于函数的恒成立问题，一般用到常数分离法进行求解，是一道基础题；