Question

（2013•海口二模）2013年，首都北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月．经气象局统计，北京市从1
月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气．《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》依据AQI指数高低将空气污染级别分为：优，指数为0-50；良，指数为51-100；轻微污染，指数为101-150；轻度污染，指数为151-200；中度污染，指数为201-250；中度重污染，指数为251-300；重度污染，指数大于300．下面表1是该观测点记录的4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（千米）的情况，表2是某气象观测点记录的北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计结果，
表1：AQI指数M与当天的空气水平可见度y（千米）情况

AQI指数M	900	700	300	100
空气可见度y（千米）	0.5	3.5	6.5	9.5

表2：北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计

AQI指数	[0，200]	（200，400]	（400，600]	（600，800]	（800，1000]
频数	3	6	12	6	3

（Ⅰ）设变量

?

x

=

M

100

，根据表1的数据，求出

?

y

关于

?

x

的线性回归方程；
（Ⅱ）小王在记录表2数据的观测点附近开了一家小饭馆，饭馆生意的好坏受空气质量
影响很大．假设每天空气质量的情况不受前一天影响．经小王统计：AQI指数不高于200时，饭馆平均每天净利润约700元，AQI指数在200至400时，饭馆平均每天净利润约400元，AQI指数大于400时，饭馆每天要净亏损200元．
（ⅰ）将频率看作概率，求小王在连续三天里饭馆净利润约1200元的概率；
（ⅱ）计算该饭馆一月份每天收入的数学期望．（用最小二乘法求线性回归方程系数公式b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 xi2-n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

?

x

=

M

100

，可得x₁=9，x₂=7，x₃=3，x₄=1，利用公式计算线性回归方程系数，即可得到

?

y

关于

?

x

的线性回归方程；
（Ⅱ）（ⅰ）由表2知AQI指数不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI指数大于400的频率为0.7，若将频率看作概率，则可求“连续三天里饭馆净利润约1200元”的概率；
（ⅱ）由（ⅰ），确定饭馆每天的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望．

解答：解：（Ⅰ）由

?

x

=

M

100

，可得x₁=9，x₂=7，x₃=3，x₄=1，
∴

.

x

=5，

.

y

=5，

4

i=1

xiyi=9×0.5+7×3.5+3×6.5+1×9.5=58，

4

i=1

x

2 i

=140
∴b=

58-4×5×5

140-4×52

=-

21

20

，a=5-5×(-

21

20

)=

41

4

∴y关于x的线性回归方程是y=-

21

20

x+

41

4

（8分）
（Ⅱ）（ⅰ）由表2知AQI指数不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI指数大于400的频率为0.7．
设“饭馆某天收入约700元”为事件A，“饭馆某天收入约400元”为事件B，“饭馆某天亏损约200元”为事件C，若将频率看作概率，则P（A）=0.1，P（B）=0.2，P（C）=0.7．则“连续三天里饭馆净利润约1200元”的概率：P=P(BBB)+P(ACC)+P(CAC)+P(CCA)=0.23+

C

2 3

×0.12×0.7=0.029（（8分）
（ⅱ）由（ⅰ），设饭馆每天的收入为X，则X的分布列为

X	-200	400	700
P	0.7	0.2	0.1

（10分）
则X的数学期望为E（X）=-200×0.7+400×0.2+700×0.1=10（12分）

点评：本题考查线性回归方程，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．