Question

（2012•湘潭三模）抛物线y=g（x）过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值．
（1）用m，x表示y=g（x）并比较a，b，m，n的大小（要求按从小到大排列）；
（2）若m+n≤2

2

，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f（x）均相切，求y=f（x）．

Answer 1

分析：（1）设抛物线方程，利用抛物线过点P，可得k=1，从而可得y=g（x）=x（x-m），利用函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，结合m＞n＞0，即可比较a，b，m，n的大小；
（2）设切点Q（x₀，y₀），求导数，可得切线的方程，利用切线过原点，得两条两条切线的斜率，根据m+n≤2

2

，两条切线垂直，即可求得函数解析式．

解答：解：（1）由抛物线经过点O（0，0）、A（m，0）
设抛物线方程y=kx（x-m）（k≠0），
又抛物线过点P（m+1，m+1），则m+1=k（m+1）（m+1-m），得k=1，
所以y=g（x）=x（x-m）．              …（3分）
∴f（x）=（x-n）g（x）=x³-（m+n）x²+mnx，
∴f′（x）=3x²-2（m+n）x+mn，
∵函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，…（5分）
∴f′（a）=0，f′（b）=0，
∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m²-2（m+n）m+mn=m（m-n）＞0    …（7分）
f′（n）=3n²-2（m+n）n+mn=n（n-m）＜0，
又b＜a，故b＜n＜a＜m．                                    …（8分）
（2）设切点Q（x₀，y₀），则切线的斜率k=f′（x₀）=3x₀²-2（m+n）x₀+mn
又y₀=x03-（m+n）x02+mnx₀，所以切线的方程是y-x03+（m+n）x02-mnx₀=[3x₀²-2（m+n）x₀+mn]（x-x₀）…（9分）
又切线过原点，故-x03+（m+n）x02-mnx₀=[3x₀²-2（m+n）x₀+mn]（-x₀）
所以2x03-（m+n）x02=0，解得x₀=0，或x₀=

m+n

2

．      …（10分）
两条切线的斜率为k₁=f′（0）=mn，k2=f′(

m+n

2

)，
由m+n≤2

2

，得（m+n）²≥8，∴-

1

4

(m+n)2≥-2，
∴k2=f′(

m+n

2

)=-

1

4

(m+n)2+mn，
所以k1k2≥mn(mn-2)=(mn-1)2-1≥-1…（12分）
又两条切线垂直，故k₁k₂=-1，
所以上式等号成立，有m+n=2

2

，且mn=1．
所以f（x）=x³-（m+n）x²+mnx=x³-2

2

x²+x．           …13 分

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．