Question

5．直角坐标系xOy中，已知点M（-1，0）、N（1，0），点P到点M的距离是到点N的距离的$\sqrt{3}$倍，
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）已知不经过原点的直线l：y=-x+b与轨迹E交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒经过点N，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用点M（-1，0）、N（1，0），点P到点M的距离是到点N的距离的$\sqrt{3}$倍，建立方程，即可求点P的轨迹E的方程；
（2）不经过原点的直线l：y=-x+b与轨迹E联立得2x²-（4+2b）x+1+b²=0，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）因为以AB为直径的圆恒经过点N（1，0），即有NA⊥NB，$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}$=0．由根与系数的关系得b，即可求出|AB|．

解答 解：（1）设点P（x，y），依题意，$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{3}•\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
化简，得（x-2）²+y²=3，此即点P的轨迹E的方程；…（4分）
（2）联立直线l：y=-x+b与轨迹E，消去y并整理，得2x²-（4+2b）x+1+b²=0，
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
利用根与系数的关系，可得x₁x₂=$\frac{1+{b}^{2}}{2}$，x₁+x₂=2+b；…（6分）
因为以AB为直径的圆恒经过点N（1，0），即有NA⊥NB，
所以$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=2x₁x₂-（1+b）（x₁+x₂）+1+b²=1+b²-（1+b）（2+b）+1+b²=0，…（8分）
解得b=0或b=3；…（9分）
当b=0时，直线l过原点，不合题意，舍去，
故b=3，直线l的方程为y=-x+3…（10分）
圆心（2，0）到l的距离d=$\frac{|-2+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由垂径定理，|AB|=2$\sqrt{3-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{10}$．…（12分）

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．