Question

2．已知数列{a_n}满足a₂=$\frac{7}{2}$，且a_n+1=3a_n-1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式以及数列{a_n}的前n项和S_n的表达式；
（2）若不等式$\frac{{a}_{n}+\frac{1}{2}}{{a}_{n+1}-\frac{3}{2}}$≤m对?n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=3a_n-1（n∈N^*），可得a_n+1-$\frac{1}{2}$=3（a_n-$\frac{1}{2}$），利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）不等式$\frac{{a}_{n}+\frac{1}{2}}{{a}_{n+1}-\frac{3}{2}}$≤m，化为：$\frac{{3}^{n}+1}{{3}^{n+1}-1}$≤m，由于$\frac{{3}^{n}+1}{{3}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{3}（1+\frac{4}{{3}^{n+1}-1}）$单调递减，即可得出m的求值范围．

解答 解：（1）∵a_n+1=3a_n-1（n∈N^*），∴a_n+1-$\frac{1}{2}$=3（a_n-$\frac{1}{2}$），
∴数列$\{{a}_{n}-\frac{1}{2}\}$是等比数列，首项为3，公比为3．
∴a_n-$\frac{1}{2}$=3×3^n-1=3ⁿ，
∴a_n=$\frac{1}{2}$+3ⁿ，
∴S_n=$\frac{n}{2}$+$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$=$\frac{n+{3}^{n+1}-3}{2}$．
（2）不等式$\frac{{a}_{n}+\frac{1}{2}}{{a}_{n+1}-\frac{3}{2}}$≤m，化为：$\frac{{3}^{n}+1}{{3}^{n+1}-1}$≤m，
∵$\frac{{3}^{n}+1}{{3}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{3}（1+\frac{4}{{3}^{n+1}-1}）$单调递减，
∴m≥$\frac{1}{3}（1+\frac{4}{{3}^{2}-1}）$=$\frac{1}{2}$．
∴实数m的取值范围是$[\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．