Question

12．在如图所示的几何体中，四边形DCFE为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=$\sqrt{3}$，AB=2BC=2，且AC⊥FB．
（1）求证：平面EAC⊥平面FCB；
（2）若线段AC上存在点M，使AE∥平面FDM，求$\frac{AM}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BC，AC⊥FB，从而AC⊥平面FBC，由上能证明平面EAC⊥平面FCB．
（2）线段AC上存在点M，且M为AC中点时，连接CE与DF交于点N，连接MN．则EA∥MN．由此推导出线段AC上存在点M，且$\frac{AM}{MC}$=1，使得EA∥平面FDM成立．

解答 证明：（1）在△ABC中，
∵AC=$\sqrt{3}$，AB=2BC=2，
∴AC²+BC²=AB²．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，
∴AC⊥平面FBC．
∵AC?平面平面EAC，
∴平面EAC⊥平面FCB．
（2）线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM，
证明如下：
连接CE与DF交于点N，连接MN．
由 CDEF为正方形，得N为CE中点．
∴EA∥MN．
∵MN?平面FDM，EA?平面FDM，
∴EA∥平面FDM．
所以线段AC上存在点M，且$\frac{AM}{MC}$=1，使得EA∥平面FDM成立．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．