Question

3．以下说法正确的有②④
①若p：?x₀∈R，x${\;}_{0}^{2}$-x₀＞0，则￢p：?x∈R，x²-x＞0
②已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同是平面，若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
③“m＞2”是“?k∈R，y=kx+2k与x²+y²+mx=0都有公共点”的充分不必要条件
④在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，p是△ABC内部的一点，若$\frac{{S}_{△PAB}}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}}$=$\frac{{S}_{△PBC}}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}}$=$\frac{{S}_{△PAC}}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}}$（S_△PAB，S_△PBC，S_△PAC表示相应三角形的面积），则PA+PB+PC=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 写出原命题的否定，可判断①；判断两个平面的位置关系，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；求出PA+PB+PC的值，可判断④．

解答 解：若p：?x₀∈R，x${\;}_{0}^{2}$-x₀＞0，则￢p：?x∈R，x²-x≤0，故①错误；
若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又由n∥β，则α⊥β，故②正确；
y=kx+2k恒过（-2，0）点，
若“?k∈R，y=kx+2k与x²+y²+mx=0都有公共点”
则（-2，0）在圆x²+y²+mx=0内部，
即4-2m＜0，解得：m＞2，
故“m＞2”是“?k∈R，y=kx+2k与x²+y²+mx=0都有公共点”的充要条件，故③错误；

由$\frac{{S}_{△PAB}}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}}$=$\frac{{S}_{△PBC}}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}}$=$\frac{{S}_{△PAC}}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}}$，
可得tan∠APB=tan∠BPC=tan∠APC，
由于0＜∠APB，∠BPC，∠APC＜π，且∠APB+∠BPC+∠APC=2π，
则∠APB=∠BPC=∠APC=$\frac{2π}{3}$，
由于AB=AC=3，BC=2，
由△APB≌△APC，
则PB=PC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在△APB中，AB²=AP²+BP²-2AP•BPcos$\frac{2π}{3}$，
即有9=AP²+$\frac{4}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$AP，
解得AP=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$+2$\sqrt{2}$，
则有PA+PB+PC=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$，故④正确；
故答案为：②④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题的否定，直线与圆的位置关系，空间直线与平面的位置关系，平面向量在几何中的应用等知识点，难度中档．