Question

20．如图，关于正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，下面结论错误的是（　　）

• A． BD⊥平面ACC₁A₁
• B． AC⊥BD
• C． A₁B∥平面CDD₁C₁
• D． 该正方体的外接球和内接球的半径之比为2：1

Answer 1

分析 在A中，由BD⊥AC，BD⊥AA₁，知BD⊥平面ACC₁A₁；在B中，由ABCD是正方形，知AC⊥BD；在C中，由A₁B∥D₁C，知A₁B∥平面CDD₁C₁；在D中，该正方体的外接球和内接球的半径之比为$\sqrt{3}$：1．

解答 解：由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，知：
在A中，∵BD⊥AC，BD⊥AA₁，AC∩AA₁=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，故A正确；
在B中，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，故B正确；
在C中，∵A₁B∥D₁C，A₁B?平面CDD₁C₁，D₁C?平面CDD₁C₁，故A₁B∥平面CDD₁C₁，故C正确；
在D中，该正方体的外接球和内接球的半径之比为$\frac{\sqrt{3}}{2}：\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$：1．故D错误．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．