Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°．平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AE=a，点M在线段EF上．
（1）求证：BC⊥平面ACEF；
（2）当FM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先根据相关的线段长证得BC⊥AC，进一步利用又因为平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，EC⊥BC
证得BC⊥平面ACEF
（2）以AM∥平面BDE为出发点，利用线线平行，证得结论．

解答： （1）证明：过C点作CG∥DA，
由在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，
求得：四边形DAGC为菱形．△GCB为等边三角形，
∠ACB=90°∠DCA=∠ACG=60°，
BC⊥AC；
又因为平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，
EC⊥BC，
BC⊥平面ACEF．
（2）FM为

3

3

a时，AM∥平面BDE，
连结EH，根据AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，∠ACB=90°，
解得：CH=

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a，AC=

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a，
要使AM∥平面BDE，FM=CH=

3

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a才成立，
即FM=

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3

a．
故答案为：（1）略
（2）

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a

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定，菱形的性质，勾股定理，三角函数的应用，线面平行的性质定理