Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，an+1=an+λ•2n（n∈N^*，λ为常数），且a₁，a₂+2，a₃成等差数列．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{b_n}满足b_n=

n2

an+3

，证明：b_n≤

9

16

．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，结合a₁，a₂+2，a₃成等差数列，即可求λ的值；
（2）由an+1=an+2n+1（n∈N^*），可得an-an-1=2n（n≥2），利用叠加法，结合等比数列的求和公式，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）确定数列{b_n}的通项，可得其单调性，即可证明结论．

解答：（1）解：因为a₁=1，an+1=an+λ•2n（n∈N^*），
所以a2=a1+λ•21=1+2λ，a3=a2+λ•22=1+6λ．
因为a₁，a₂+2，a₃成等差数列，
所以a₁+a₃=2（a₂+2），即2+6λ=2（3+2λ），
解得λ=2．
（2）解：由（1）得，λ=2，所以an+1=an+2n+1（n∈N^*），
所以an-an-1=2n（n≥2）．
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+2²+2³+…+2ⁿ=1+

22(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ⁺¹-3．
又a₁=1也适合上式，
所以数列（-∞，a]的通项公式为an=2n+1-3（n∈N^*）．
（3）证明：由（2）得，an=2n+1-3，所以bn=

n2

2n+1

．
因为bn+1-bn=

(n+1)2

2n+2

-

n2

2n+1

=

-n2+2n+1

2n+2

=

-(n-1)2+2

2n+2

，
当n≥3时，-（n-1）²+2＜0，所以当n≥3时，b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n．
又b1=

1

4

＜b2=

1

2

＜b3=

9

16

，
所以bn≤b3=

9

16

（n∈N^*）．

点评：本小题主要考查等差数列的概念，考查数列求和、单调性等基础知识以及运算求解能力、推理论证能力等．