Question

已知数列{a_n}满足a1=1，an+1=an+

an2+1

，令a_n=tanθ_n(0＜θn＜

π

2

)，
求证：（1）数列{θn-

π

2

}是等比数列．
（2）a1+a2+…+an＞

(n-1)π

2

．

Answer 1

分析：（1）由a1=1，an+1=an+

an2+1

，∴an＞0．所以an+1=tanθn+1=tanθn+

tan2θn+1

=

1+sinθn

cosθn

=tan(

π

4

+

θn

2

)，由此能够推出数列{θn-

π

2

}是等比数列．
（2）由题设知θn-

π

2

=(

1

2

)n-1(-

π

4

)，θn=

π

2

-(

1

2

)n-1(-

π

4

)．再由θn∈(0，

π

2

)，知a₁+a₂++a_n＞θ₁+θ₂+…+θ_n．由此可导出a₁+a₂++a_n＞

(n-1)π

2

．

解答：证明：（1）∵a1=1，an+1=an+

an2+1

，∴an＞0．a1=tanθ1，∵θ1∈(0，

π

2

)，∴θ1=

π

4

.
∴an+1=tanθn+1=tanθn+

tan2θn+1

=

1+sinθn

cosθn

=tan(

π

4

+

θn

2

)，
∵θn+1∈(0，

π

2

)，θn∈(0，

π

2

)，∴θn+1=

1

2

θn+

π

4

，∴θn+1-

π

2

=

1

2

(θn-

π

2

)．
∴数列{θn-

π

2

}是等比数列．
（2）∵数列{θn-

π

2

}是等比数列，∴θn-

π

2

=(

1

2

)n-1(-

π

4

)，θn=

π

2

-(

1

2

)n-1(-

π

4

)．
∵θn∈(0，

π

2

)，∴tanθ_n＞θ_n，∴a₁+a₂++a_n＞θ₁+θ₂+…+θ_n．
∵θ₁+θ₂++θ_n=

nπ

2

-

π

4

(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

)
=

nπ

2

-

π

4

(2-

1

2n-1

)=

(n-1)π

2

+

π

4

•

1

2n-1

＞

(n-1)π

2

，∴a₁+a₂++a_n＞

(n-1)π

2

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．