Question

数列{2ⁿ-1}的前n项组成集合An={1，3，7，…，2n-1}(n∈N*)，从集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T_k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S_n=T₁+T₂+…+T_n．例如：当n=1时，A₁={1}，T₁=1，S₁=1；当n=2时，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1×3，S₂=1+3+1×3=7．
（Ⅰ）求S₃；
（Ⅱ）猜想S_n，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（Ⅰ）当n=3时，A₃={1，3，7}，
T₁=1+3+7=11，T₂=1×3+1×7+3×7=31，T₃=1×3×7=21，
所以S₃=11+31+21=63．
（Ⅱ）由S₁=1=2¹-1=-1，S₂=7=2³-1=-1，S₃=63=2⁶-1=-1，
猜想 S_n=2

n(n+1)

2

-1，下面证明：（1）易知n=1时成立．
（2）假设n=k时，S_n=S_k=2

k(k+1)

2

-1，
则n=k+1时，S_k+1=T₁+T₂+T₃+…+T_k+1
=[T₁′+（2^k+1-1）]+[T₂′+（2^k+1-1）T₁′]+[T₃′+（2^k+1-1）T₂′]+…+[T_k′+（2^k+1-1）]
（其中T_i′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为T_k），
=（ T₁′+T₂′+T₃′+…+T_k′）+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）（ T₁′+T₂′+T₃′+…+T_k′）
=S_k+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）S_k =2^k+1（2

k(k+1)

2

）+（2^k+1-1）
=2^k+1•2

k(k+1)

2

=2

(k+1)(k+2)

2

-1，即n=k时，
S_k+1=2

(k+1)(k+2)

2

-1也成立，
综合（1）（2）知对n∈N^*，S_n=2

n(n+1)

2

-1成立．
所以，S_n=2

n(n+1)

2

-1．