Question

将圆x²+y²+2x-2y=0按向量

.

a

=（1，-1）平移得到圆O，直线 l与圆O相交于A、B两点，若在圆O上存在点C，使

.

OA

+

.

OB

+

.

OC

=

.

0

且

.

OC

=2

.

a

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：由已知中圆x²+y²+2x-2y=0按向量

.

a

=（1，-1）平移得到圆O，易求出圆O的方程，根据直线 l与圆O相交于A、B两点，若在圆O上存在点C，使

.

OA

+

.

OB

+

.

OC

=

.

0

且

.

OC

=2

.

a

，可得

.

OC

⊥

AB

，求出直线l的斜率后，可根据O到AB的距离等于，O到AB的中点D的距离，构造关于m的方程，解方程求出m值后即可得到直线l的方程．

解答：解：由已知圆的方程为（x+1）²+（y-1）²=2，
按

.

a

=（1，-1）平移得到圆O：x²+y²=2．…（2分）
∵

.

OA

+

.

OB

+

.

OC

=

.

0

∴

.

OC

=-（

.

OA

+

.

OB

）
∴

.

OC

•

AB

=-（

.

OA

+

.

OB

）•（

.

-OA

+

.

OB

）=

OA2

-

OB2

=0，
即

.

OC

⊥

AB

             …（6分）
又

.

OC

=2

.

a

，且

.

a

=（1，-1），
∴k_OC=-1．
∴k_AB=1．
设l_AB：x-y+m=0，AB的中点为D．
由

.

OC

=-（

.

OA

+

.

OB

）=-2

OD

，
则|

.

OC

|=2|

OD

|，
又|

.

OC

|=

2

，
∴|

OD

|=

2

2

∴O到AB的距离等于

2

2

                       …（10分）
即

|m|

2

=

2

2

，
∴m=±1
∴直线l的方程为：x-y-1=0或x-y+1=0．…（14分）

点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中求出直线l的斜率，及x-y+m=0中参数m的值，是解答本题的关键．