Question

（14分）已知函数.

（1）若函数在其定义域内为单调函数，求a的取值范围;

（2）若函数的图像在x＝1处的切线的斜率为0，且，已知，求证：;

（3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由.

Answer 1

解析：（1）＝a－b＝0→a＝b

∴＝

要使函数在定义域（0，）内为单调函数

则在（0，）内恒大于或恒小于0

当a＝0时，＝在（0，）内恒成立

当a＝0时，要使＝恒成立

则

解得

当a＝0时，要使＝恒成立

则a<0

综上得：a得取值范围为a0或……………………（4分）

（2）依题意得：＝0  即a+a－2＝0

∴a=1   =

于是＝()=()²－n²+1=

用数学归纳法证明如下：

①当n＝1时，   不等式成立

②假设当n＝k时，不等式成立

  即也成立

则当n＝k+1时

2(k+1)+2

∴当n＝k+1时，不等式也成立

综合①②得，对任意^*,有………………（9分）

（3）由（2）

∴

∴ 

累乘得  ，则(n2)

∴

＝

∴……………………（14分）