Question

已知点F（a，0）（a＞0），动点M、P分别在x、y轴上运动，满足

PM

 •

PF

=0，N为动点，并且满足

PN

•

PM

=0．
（1）求点N的轨迹C的方程；
（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A，B两点，设点K（-a，0），

KA

与

KB

的夹角为θ，求证：0＜θ＜

π

2

．

Answer 1

分析：（1）设N（x，y），P（0，b），由

PM

+

PN

=0及M在x轴可得y=2b①，再由P满足

PM

 •

PF

=0，及①可得x=

b2

a

②，由①②可求C的轨迹方程
（2）设直线AB的方程为y=k（x-a），联立方程

y=k(x-a) y2=4ax

整理可得，k²x²-（2ak²+4a）x+a²k²=0，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由方程根与系数的关系可得x1+x2=

2ak2+4a

k2

x1x2= a2，根据向量的数量积可得

KA

•

KB

=(x1+a)(x2+a)+y1y2，通过已知条件可求其范围，进而可求夹角θ的范围．

解答：解：（1）设N（x，y），P（0，b）
∵

PM

+

PN

=0∴M（-x，2b-y）
∵M在x轴∴2b-y=0，y=2b①
又P满足

PM

 •

PF

=0，即PM⊥PF
∴

y-b

x

•

b

-a

=-1，x=

b2

a

②
由①②可得，y²=4ax
（2）设l_AB：y=k（x-a）
则有

y=k(x-a) y2=4ax

整理可得，k²x²-（2ak²+4a）x+a²k²=0
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∴x1+x2=

2ak2+4a

k2

x1x2= a2
∴

KA

=(x1+a，y1)  

KB

=(x2+a，y2)
∴

KA

•

KB

=(x1+a)(x2+a)+y1y2=（x₁+a）（x₂+a）+k²（x₁-a）（x₂-a）
=[x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²]+k²[x₁x₂-a（x₁+x₂）+a²]
=（1+k²）（x₁x₂+a²）+a（1-k²）（x₁+x₂）=

4a

k2

＞0
∴0＜θ＜

π

2

点评：本题以向量的基本运算为载体，综合考查了向量垂直与直线垂直的相互转化的应用，点的轨迹的求解，直线与圆锥曲线的位置关系的考查，本题的重点与难点在于直线与抛物线的相交关系，这也是圆锥曲线常考的试题类型