Question

已知点F（-c，0）（c＞0）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x²+y²=c²交于点P，且点P在抛物线y²=4cx上，则该双曲线的离心率是（　　）

• A．

  3+ 5

  2

• B．

  5

• C．

  5 -1

  2

• D．

  1+ 5

  2

Answer 1

分析：利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、相似三角形的性质即可得出．

解答：解：如图，设抛物线y²=4cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，
双曲线的右焦点为F'，由题意可知FF'为圆x²+y²=c²的直径，
∴PF'⊥PF，且tan∠PFF′=

b

a

，|FF'|=2c，
设|PF'|=x，|PF|=y，则

y x = b a y-x=2a x2+y2=4c2

，解得b=2a，
所以4a²=c²-a²，即c²=5a²，所以c=

5

a，即e=

5

．
故选B．

点评：数列掌握抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质是解题的关键．