Question

13．已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（lgx）-klgx≥0在$x∈[\sqrt{10}，100]$上有解，求实数k的取值范围；
（3）若f（|2^x-1|）+k•$\frac{2}{{|{{2^x}-1}|}}$-3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数g（x）=a（x-1）²+1+b-a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=1}\\{g（3）=4}\end{array}\right.$，由此解得a、b的值．
（2）由已知可得f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，所以令t=lgx，不等式f（lgx）-klgx≥0可化为k≤t²-2t+1，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，求出h（t）=t²-2t+1的最大值，从而求得k的取值范围；
（3）把已知方程转化为|2^x-1|²-（3k+2）•|2^x-1|+（2k+1）=0，令|2^x-1|=m，则原方程有三个不同的实数解转化为m²-（3k+2）m+（2k+1）=0有两个不同的实数解m₁，m₂，其中0＜m₁＜1，m₂＞1或0＜m₁＜1，m₂=1．然后运用“三个二次”的结合列式得答案．

解答 解：（1）函数g（x）=ax²-2ax+b+1=a（x-1）²+1+b-a，
因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=1}\\{g（3）=4}\end{array}\right.$，解得a=1，b=0． …．（6分）
（2）由已知可得f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，所以令t=lgx，不等式f（lgx）-klgx≥0可化为k≤t²-2t+1．
因$x∈[\sqrt{10}，100]$，故 t∈[$\frac{1}{2}$，2]．故k≤t²-2t+1在t∈[$\frac{1}{2}$，2]上能成立．
记h（t）=t²-2t+1，因为 t∈[$\frac{1}{2}$，2]，故 h（t）_max =h（2）=1，
所以k的取值范围是（-∞，1]． 
（3）令m=|2^x-1|（m≥0），f（|2^x-1|）+k•$\frac{2}{{|{{2^x}-1}|}}$-3k=0，即f（m）+k•$\frac{2}{m}$-3k=0，
∴m²-（3k+2）m+（2k+1）=0有两个不同的实数解m₁，m₂，
其中0＜m₁＜1，m₂＞1或0＜m₁＜1，m₂=1．
记F（m）=m²-（3k+2）m+（2k+1），则$\left\{\begin{array}{l}{2k+1＞0}\\{F（1）=-k＜0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{2k+1＞0}\\{F（1）=-k=0}\\{0＜\frac{3k+2}{2}＜1}\end{array}\right.$②
解①得，k＞0；②无解．
∴实数k的取值范围为（0，+∞）．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的零点与方程根的关系，函数的恒成立问题，考查了数学转化思想方法，关键是对题意得理解，考查了学生的逻辑思维能力，是压轴题．