Question

8．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+（{a+b}）x+2，x≤0\\ 2，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x＞0\end{array}\right.$，其中a是方程x+lgx=4的解，b是方程x+10^x=4的解，如果关于x的方程f（x）=x的所有解分别为x₁，x₂，…，x_n，记$\sum_{i=1}^n{{x_i}={x_1}+{x_2}+…+{x_n}}$，则$\sum_{i=1}^n{x_i}$=-1．

Answer 1

分析 先根据a满足x+lgx=4，b满足x+10^x=4，可得a+b=4，进而可分类求出关于x的方程f（x）=x的解，再求其和即可．

解答 解：∵a满足x+lgx=4，b满足x+10^x=4，
∴a，b分别为函数y=4-x与函数y=lgx，y=10^x图象交点的横坐标，
由于y=x与y=4-x图象交点的横坐标为2，
函数y=lgx，y=10^x的图象关于y=x对称，
∴a+b=4，
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+2，x≤0}\\{2，x＞0}\end{array}\right.$，
当x≤0时，关于x的方程f（x）=x，即x²+4x+2=x，即x²+3x+2=0，
∴x=-2或x=-1，满足题意；
当x＞0时，关于x的方程f（x）=x，即x=2，满足题意．
∴$\sum_{i=1}^n{x_i}$=-2-1+2=-1，
故答为：-1

点评 本题考查函数与方程的关系，考查根的个数的研究，解题的关键是求出分段函数的解析式，有一定的综合性．