Question

19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线方程为y=$\frac{4}{3}$x，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$ 或$\frac{5}{4}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，结合题意可得$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，即b=$\frac{4}{3}$a，由双曲线的几何性质可得c=$\frac{5}{3}$a，进而由离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，则其焦点在x轴上，
那么其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
又由该双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{4}{3}$x，
则有$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，即b=$\frac{4}{3}$a，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{5}{3}$a，
其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$；
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，注意要先由双曲线的标准方程分析出其焦点的位置．