Question

已知在数列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²，其中t＞0，x=

t

是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若

1

2

＜t＜2，b_n=

2an

1+ a 2 n

（n∈N^*），求证：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2ⁿ-2-

n

2

．

Answer 1

分析：（1）本题求数列的通项公式，关键是构造数列{a_n+1-a_n}，再利用等比数列的通项公式求出即可，要注意对t的讨论．
（2）已知b_n，求出

1

bn

=

1

2

（tⁿ+t^-n），，接下来的关键是利用t的范围，判断2ⁿ+2^-n＞tⁿ+t^-n，也就求出

1

bn

＜

1

2

（2ⁿ+2^-n），从而求出

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2ⁿ-

1

2

（1+

1

2n

），再利用均值不等式1+

1

2n

＞2

1 2n

的值，即可证明．

解答：解：（1）由题意得：f′（

t

）=0，
即3a_n-1t-3[（t+1）a_n-a_n+1]=0
故a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2），
则当t≠1时，数列{a_n+1-a_n}是以t²-t为首项，t为公比的等比数列，
所以a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1
由a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=t+（t²-t）[1+t+t²+…+t^n-2]
=t+（t²-t）•

1-tn-1

1-t

=tⁿ
此式对t=1也成立，所以a_n=tⁿ（n∈N^*）．
（2）

1

bn

=

1

2

（a_n+

1

an

）=

1

2

（tⁿ+t^-n），
因为

1

2

＜t＜2，所以（2t）ⁿ＞1，tⁿ＜2ⁿ．
则（2ⁿ+2^-n）-（tⁿ+t^-n）=

1

(2t)n

（2ⁿ-tⁿ）[（2t）ⁿ-1]＞0，
有

1

bn

＜

1

2

（2ⁿ+2^-n），
故

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

1

2

[（2+

1

2

）+（2²+

1

22

）+…+（2ⁿ+

1

2n

）]=2ⁿ-

1

2

（1+

1

2n

），
∵1+

1

2n

＞2

1 2n

∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2ⁿ-

1 2n

=2ⁿ-2-

n

2

即证．

点评：本题是关于求解数列相关问题的试题，是一道综合题，本题主要运用了函数的极值，均值不等式，等比数列的通项公式等数学知识，对于（2）更是离不开平时的经验和总结，需熟练掌握才行．