Question

已知函数f（x）=-x³+ax²-4．
（1） 若f（x）在处取得极值，求实数a的值；
（2） 在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3） 若存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f'（x）=-3x²+2ax，由题意得，解得a=2，经检验满足条件．
（2）由（1）知f（x）=-x³+2x²-4，f'（x）=-3x²+4x，
令f'（x）=0，则x₁=0，（舍去）．f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f'（x）		-	0	+
f（x）	-1	↘	-4	↗	-3

∴f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，
∴f（x）_极小值=f（0）=-4，如图构造f（x）在[-1，1]上的图象．
又关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，
则-4＜m≤-3，即m的取值范围是（-4，-3]．
（3）解法一：因存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，
故只需要f（x）的最大值f（x）_max＞0即可，
∵f（x）=-x³+ax²-4，∴．
①若a≤0，则当x＞0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减．
∵f（0）=-4＜0，∴当x＞0时，f（x）＜-4＜0，
∴当a≤0时，不存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立．
②当a＞0时f（x），f'（x）随x的变化情况如下表：

x
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗		↘

∴当x∈（0，+∞）时，，由得a＞3．
综上得a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．
解法二：根据题意，只需要不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解即可，
即-x³+ax²-4＞0在（0，+∞）上有解．即不等式在（0，+∞）上有解即可．
令，只需要a＞g（x）_min
而，当且仅当，即x=2时“=”成立．
故a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．
分析：（1）首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值，（2）在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，即函数f（x）的图象与直线y=m有两个交点，利用导数即求函数f（x）在区间[-1，1]上的最值；（3）解法一：存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0即寻找f（x）_max＞0是变量a的范围；解法二：存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，即即-x³+ax²-4＞0在（0，+∞）上有解，分离参数，即求a＞g（x）_min，转化为求函数的最小值．
点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，体现了数形结合和转化的思想方法．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．